İçerme Dışlama İlkesini (Principle of Inclusion and Exclusion) Sezgisel Olarak Anlamak

Bugünlerde Kodluyoruz’un düzenlediği Data Science for the Public Good Programı’nda Engin Deniz Alpman hocamızın sezgisel kavrama metoduyla verdiği derslerde öğrenmenin hazzını yaşıyorum. Öncelikle bunun için kendisine teşekkür ederim.

Bugün ben de İçerme Dışlama İlkesini (Principle of Inclusion and Exclusion) sezgisel yolla anlatmaya çalışacağım.

---

Basit bir soruyla başlayalım. Yaptığımız araştırmalar sonucunda Avustralya’da kahverengi saçlı 15 milyon, sarı saçlı 7 milyon kişi olduğunu öğreniyoruz. Bu durumda kahverengi saçlı veya sarı saçlı kaç Avustralyalı vardır? Cevap basit: iki grubu toplar ve 22 milyon kişi ya kahverengi saçlıdır ya da sarı saçlıdır deriz.

Bu araştırmayı biraz daha genişlettiğimizi düşünelim. Bu sefer elimizde Avustralya’da kahverengi saçlı 15 milyon kişi olduğu ve nüfusun 11 milyonunun erkek olduğu bilgisi var. Erkek veya kahverengi saçlı kaç Avustralyalı vardır? Cevap 26 mıdır? Avustralya’nın nüfusundan daha fazla:) Peki diğerinden farklı olarak neden iki grubun değerlerini topladığımızda doğru sonuca erişemedik

İlk verimiz: Avustralya’da 15 milyon kahverengi saçlı kişi var.

İkinci verimiz: Avustralya’da 11 milyon erkek var.


Erkek veya kahverengi saçlı kişileri bulmak için; iki grubun değerlerini topladığımızda gördüğünüz gibi ortak ‘x milyon kahverengi saçlı erkekler’i iki kez saymış oluyoruz.

x’in 9 olduğunu varsayalım.

15 milyon kahverengi saçlı kişiler + 11 milyon erkek - 9 milyon fazladan saydığımız kahverengi saçlı erkek

Cevabımız 17 milyon olacaktır. Kahverengi saçlı kişileri A kümesi, erkekleri B kümesi kabul edersek burada yaptığımız işlemi aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz:

∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣

---

Bu sefer sorumuz 3 farklı okul kulübüne üye olan öğrenciler hakkında olsun. Elimizde her kulübe üye olan öğrenci sayısı ve birden fazla kulübe üye olan kişilerin bilgisi bulunmaktadır. En az bir kulübe üye olan öğrencilerin sayısını bulmak istiyoruz. Verilerimiz şu şekilde:

• 14 kişi yüzme, 10 kişi satranç, 20 kişi münazara kulübüne üyedir.
• Ali, Ayşe ve Mehmet bu kulüplerin üçüne de üyedir.
• Gizem ve Ahmet hem yüzme hem de münazara kulübüne üyedir.
• Ömer hem yüzme hem de satranç kulübüne üyedir.
• Zeynep hem satranç hem de münazara kulübüne üyedir.

Kulüplere üye olan öğrenci sayısını yüzme, satranç ve münazara kulübüne üye olanların toplam sayısı olarak hesap edersek hata yaparız çünkü aynı kişileri birden fazla kez saymış oluruz. Kaç kez fazladan saydıysak o kadar kez çıkarmalıyız.

(Yüzme+Satranç+Münazara)-2*(Ali,Ayşe,Mehmet)-(Gizem,Ahmet)-(Ömer)-(Zeynep)

(14+10+20)-2*3–2–1–1=34

Yüzme kulübüne üye olanlara Y, satranç kulübüne üye olanlara S, münazara kulübüne üye olanlara M diyelim ve öyle devam edelim.

∣Y∪S∪M∣=|Y|+|S|+|M|-(Y∩S∩M)-(Y∩S∩M)-[(Y∩M)-(Y∩S∩M)]-[(Y∩S)-(Y∩S∩M)]-[(S∩M)-(Y∩S∩M)]

Denklemimizde eksileri dağıtıp pozitif ve negatif değerler birbirini götürdüğünde aşağıdaki sonucu elde ederiz:

∣Y∪S∪M∣=|Y|+|S|+|M|-(Y∩M)-(Y∩S)-(S∩M)+(Y∩S∩M)

Burada önemli noktaları vurgulayalım:

• Ali, Ayşe ve Mehmet’i iki kez fazladan saydığımız için iki kez çıkardık.
• Gizem ve Ahmet’i ifade ederken yüzme ve münazara kesişimine Ali, Ayşe ve Mehmet de dahil olduğundan onları tekrar çıkarmamız gerekti.
• Aynı şekilde Zeynep’i ifade ederken de satranç ve münazara kesişiminden Ali, Ayşe ve Mehmet’i tekrar çıkardık.

Y, S, M kümeleriyle ifade ettiğimiz denklemi A,B,C kümeleriyle genelleştirecek olursak A, B veya C durumunun gerçekleşme sayısını aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz:

∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣−∣A∩B∣−∣A∩C∣−∣B∩C∣+∣A∩B∩C∣

4 farklı kulübe üye olan öğrenciler için aynı işlemleri yaptığımızda aşağıdaki formülü elde edecektik:

∣A∪B∪C∪D∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣+∣D∣−∣A∩B∣−∣A∩C∣−∣A∩D∣−∣B∩C∣−∣B∩D∣−∣C∩D∣+∣A∩B∩C∣
+∣A∩B∩D∣+∣B∩C∩D∣−∣A∩B∩C∩D∣

Hatırlarsanız ilkokuldayken bu tarz soruları aşağıdaki gibi Venn şeması kullanarak çözerdik.

Peki ya 15 farklı kulüp olsaydı bu soruyu çözmek için 15 farklı kümeyi çizebilecek miydik?

İki, üç veya dört farklı kümede yer alan elemanları saymak için çıkardığımız formülleri daha fazla küme için yazacak olursak her elemanın bir kez sayılmasını garanti eden İçerme Dışlama İlkesinin aşağıdaki formülünü çıkarmış oluruz:

∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣

∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣−∣A∩B∣−∣A∩C∣−∣B∩C∣+∣A∩B∩C∣

∣A∪B∪C∪D∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣+∣D∣−∣A∩B∣−∣A∩C∣−∣A∩D∣−∣B∩C∣−∣B∩D∣−∣C∩D∣+∣A∩B∩C∣
+∣A∩B∩D∣+∣B∩C∩D∣−∣A∩B∩C∩D∣

Böylelikle özellikle kombinasyon ve olasılık sorularında aynı elemanı iki kez saymamak için kullandığımız İçerme Dışlama İlkesinin (Principle of Inclusion and Exclusion) formülünün çıkış yerini sezgisel olarak ifade etmiş olduk.